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A Lei dos Grandes Números


  O Teorema de Bernoulli    
  Em 1692, Jacob Bernoulli demonstrou um teorema segundo o qual, se se conhece a probabilidade de ocorrência de um evento num experimento aleatório, é possível indicar quais são as expectativas da frequência da sua ocorrência se o mesmo experimento for repetido um número considerável de vezes sob condições semelhantes. Por outro lado, se é desconhecida a probabilidade de um evento, mas o número de experimentos é muito grande, a sua probabilidade pode ser aproximada.

A Freqüência Relativa de um evento é definida como sendo a relação entre o número de vezes em que um evento aconteceu numa dada série de repetições de um experimento aleatório e o número total de repetições do referido experimento. Em outras palavras:

O teorema de Bernoulli, mais conhecido como a "Lei dos Grandes Números", afirma que, numa série imensa de experimentos, a freqüência relativa de um evento se aproxima cada vez mais da sua probabilidade. Em outras palavras, quando se repete um experimento um número suficientemente grande de vezes é possível, na equação acima, substituir a expressão "Freqüência Relativa" por "Probabilidade" com erro desprezível. Assim, dada uma longa série de experimentos, pode-se calcular a probabilidade de um evento, ou então, dada a probabilidade de um evento, se pode calcular o número de vezes que ele deve ocorrer numa longa série de tentativas.

   
  A Lei em Ação    
  Para se compreender bem a Lei dos Grandes Números e suas implicações, é interessante considerar alguns experimentos práticos e também estabelecer um contraste com a definição clássica de Probabilidade.

Usando-se a definição clássica, a probabilidade de ocorrer uma cara no lançamento ao azar de uma moeda justa é de 1/2, 0.5 ou 50%. Num experimento aleatório no sentido de detectar a ocorrência do evento, foram obtidos os seguintes resultados concretos:

N° de Lançamentos

Quantidade de Caras

Freqüência Relativa de Caras

Diferença p/ Probabilidade Clássica

10

4

4/10 = 0.40 = 40%

10%

30

14

14/30 = 0.47 = 47%

3%

60

31

31/60 = 0.52 = 52%

2%

100

49

49/100 = 0.49 = 49%

1%

Como se pode ver, à medida em que se aumenta o n° de lançamentos, o valor da freqüência relativa se aproxima cada vez mais dos 50% previstos pela definição clássica de Probabilidade. Naturalmente, uma outra série de 100 lançamentos apresentaria números específicos diferentes, mas o mesmo tipo de convergência. Também é intuitivo que fenômenos diferentes, com diferentes mecanismos probabilísticos, apresentam diferentes velocidades de convergência.

A Lei dos Grandes Números é válida para qualquer tipo de experimento aleatório, de modo que, substituindo-se o "lançamento de uma moeda" por um resultado observacional ou experimental qualquer, se pode ter, numa série longa de registros, a probabilidade de um diagnóstico específico, de um determinado achado laboratorial ou de um certo desenvolvimento clínico. É interessante notar, contudo, que o número de observações precisa ser grande o suficiente para que se possa ter uma precisão aceitável para a probabilidade estimada, o que costuma implicar em números realmente "grandes", como sugere o nome da Lei.

   
  Probabilidade e Estatística    
  Talvez o maior mérito da Lei dos Grandes Números seja o fato dela permitir, através da observação ou experimentação, a estimativa da probabilidade associada a fenômenos onde não há uma simetria que auxilie o uso da definição clássica. Assim, cria-se uma ponte conceitual direta entre uma noção matemática abstrata e o mundo empírico. Com isso, surge o significado e o propósito básico da Estatística: estimar probabilidades.