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Probabilidade Condicional


  Dependência e Independência de Eventos    
  Quando se estuda simultaneamente dois eventos, existem duas possibilidades quanto à relação entre as suas probabilidades:
  • Eventos Dependentes: Quando a ocorrência de um influencia a probabilidade de ocorrência do outro;
  • Eventos Independentes: Quando a ocorrência de um em nada interfere na ocorrência do outro.

Assim, se A e B são eventos independentes, então a probabilidade de que ambos aconteçam ao mesmo tempo é necessariamente igual à probabilidade isolada de um deles ocorrer multiplicada pela probabilidade isolada do outro, ou seja, em notação matemática:

P(A e B) = P(A) x P(B)

Quando existe alguma relação entre A e B de modo que a ocorrência de um interfere na probabilidade do outro, a probabilidade de ambos ocorrerem ao mesmo tempo assume um valor diferente dependendo da natureza da relação.

   
  Probabilidades de Eventos Dependentes    
  Quando se tem dois eventos que se mostram dependentes, o cálculo das chances de cada um envolve as chamadas Probabilidades Condicionais.

Para se compreender como se lida com esse tipo de questão, é interessante o diagrama ao lado, onde A e B são eventos dependentes.

 
  A probabilidade de que ocorrências dentro do espaço amostral correspondam ao evento A é ilustrada pela área da elipse pontilhada. A probabilidade no caso do evento B é dada pela área da elipse contínua. A probabilidade de que as ocorrências venham a corresponder tanto a A quanto a B é dada pela área da interseção entre as duas elipses (A n B). Assim, a probabilidade de A dado que B ocorreu é calculada pela razão entre a interseção entre A e B e a área de B, ou seja, em notação matemática, P(A|B) = P(A n B)/P(B). Naturalmente, é possível se usar o mesmo raciocínio para se calcular a probabilidade de B dado que A tenha ocorrido, isto é, P(B|A) = P(A n B)/P(A).  
       
  A Regra de Bayes    
  Em 1762, o Reverendo Thomas Bayes demonstrou um procedimento bastante importante para se calcular a probabilidade de um evento dado que um outro tenha ocorrido. O seu método consiste na partição do espaço amostral em diversos subconjuntos cujas probabilidades sejam conhecidas e, em seguida, aplicar a seguinte fórmula:

Na equação, Ai é o evento cuja probabilidade se quer calcular dado que o evento B tenha ocorrido. Aj representa genericamente uma das "fatias" da partição do espaço amostral (Ai é uma dessas fatias).

A famosa Regra de Bayes, como é conhecido o método, permite que se ajuste uma probabilidade a priori (conhecida) de um dado evento à luz de novas evidências envolvendo um outro evento que apresenta relação de dependência com o primeiro.